Salut el cameleon, merci bien pour les liens !
J'ai plus ou moins réussi à obtenir ce que je voulais en créant un compte imap en plus de mon compte pop existant et en faisant un glisser-déposer dans le dossier "courrier entrant" du compte imap. Après ça, j'ai supprimé le compte pop pour éviter qu'il ne télécharge à nouveau tous les messages sur le serveur.
Comme il y avait 3000 mails à transférer ça a juste pris 3 heures, mais maintenant j'ai accès à tous mes mails depuis Zimbra, Thunderbird et même mon smartphone.
Je ne connaissais pas l'imap, et franchement, je regrette de ne pas avoir connu plus tôt, ça m'aurait évité de jongler entre 3 ordis et un téléphone portable pendant des années.
En revanche, j'ai effectivement eu une notification m'indiquant que la connexion n'était pas sécurisée, peut-être que je vais réussir à la protéger par SSL grâce à ton deuxième lien !
Je vous tiens au courant ! Merci encore pour votre aide.